8.7 使用ETS模型预测

8.7 使用ETS模型预测

通过对 \(t=T+1,\dots,T+h\) 进行迭代，并设定 \(t>T\) 时所有的 \(\varepsilon_t=0\)，可以从模型中获得点预测。

例如，对于模型ETS(M,A,N)， \(y_{T+1} = (\ell_T + b_T )(1+ \varepsilon_{T+1})\)。 因此 \(\hat{y}_{T+1|T}=\ell_{T}+b_{T}\)。 类似地，

\[\begin{align*}

y_{T+2} &= (\ell_{T+1} + b_{T+1})(1 + \varepsilon_{T+2})\\

&= \left[

(\ell_T + b_T) (1+ \alpha\varepsilon_{T+1}) +

b_T + \beta (\ell_T + b_T)\varepsilon_{T+1}

\right]

(1 + \varepsilon_{T+2}).

\end{align*}\]

因此， \(\hat{y}_{T+2|T}= \ell_{T}+2b_{T}\)， 等等。这些预测与Holt线性方法以及ETS(A,A,N)模型的预测结果相同。因此，从该方法得到的点预测与以该方法为基础的两个模型的点预测是相同的（假定使用相同的参数值）。 以这种方式构建的ETS点预测等于预测分布的平均值，具有乘法季节性的模型除外 (Hyndman et al., 2008).

为了从ETS模型中得到预测，我们使用来自fable包的forecast()函数。 此函数将始终返回预测分布的平均值，即使它们与这些传统的点预测不同。

fit |>

forecast(h = 8) |>

autoplot(aus_holidays)+

labs(title="澳大利亚国内旅游",

y="过夜旅行（单位：百万）",x="季度")

图8.12: 用ETS(M,N,A)模型预测澳大利亚国内过夜旅行

预测区间

统计模型的一大优点是，也可以生成预测区间，这是单独使用点预测方法无法实现的。使用加法和乘法方法的模型之间的预测区间会有所不同。

对于大多数ETS模型，预测区间可以写成

\[

\hat{y}_{T+h|T} \pm c \sigma_h

\]

其中\(c\)取决于覆盖概率，\(\sigma_h^2\)是预测方差。 \(c\)的值在表 5.1中给出。 对于ETS模型，\(\sigma_h^2\)的公式可能很复杂；有关详细信息，请参阅 Hyndman et al. (2008) 的第六章。在表 8.9 中，我们给出了加法ETS模型的公式，这是最简单的。

表8.9: 每个加法状态空间模型的预测方差表达式，其中\(\sigma^2\)是残差方差，\(m\)是季节性周期，\(k\)是\((h-1)/m\)的整数部分（即,时间\(T+h\)之前预测期内的完整年数）。

模型

预测方差： \(\sigma_h^2\)

(A,N,N)

\(\sigma_h^2 = \sigma^2\big[1 + \alpha^2(h-1)\big]\)

(A,A,N)

\(\sigma_h^2 = \sigma^2\Big[1 + (h-1)\big\{\alpha^2 + \alpha\beta h + \frac16\beta^2h(2h-1)\big\}\Big]\)

(A,A\(_d\),N)

\(\sigma_h^2 = \sigma^2\biggl[1 + \alpha^2(h-1) + \frac{\beta\phi h}{(1-\phi)^2} \left\{2\alpha(1-\phi) +\beta\phi\right\}\)

\(\mbox{} - \frac{\beta\phi(1-\phi^h)}{(1-\phi)^2(1-\phi^2)} \left\{ 2\alpha(1-\phi^2)+ \beta\phi(1+2\phi-\phi^h)\right\}\biggr]\)

(A,N,A)

\(\sigma_h^2 = \sigma^2\Big[1 + \alpha^2(h-1) + \gamma k(2\alpha+\gamma)\Big]\)

(A,A,A)

\(\sigma_h^2 = \sigma^2\Big[1 + (h-1)\big\{\alpha^2 + \alpha\beta h + \frac16\beta^2h(2h-1)\big\}\)

\(\mbox{} + \gamma k \big\{2\alpha+ \gamma + \beta m (k+1)\big\} \Big]\)

(A,A\(_d\),A)

\(\sigma_h^2 = \sigma^2\biggl[1 + \alpha^2(h-1) + \gamma k(2\alpha+\gamma)\)

\(\mbox{} +\frac{\beta\phi h}{(1-\phi)^2} \left\{2\alpha(1-\phi) + \beta\phi \right\}\)

\(\mbox{} - \frac{\beta\phi(1-\phi^h)}{(1-\phi)^2(1-\phi^2)} \left\{ 2\alpha(1-\phi^2)+ \beta\phi(1+2\phi-\phi^h)\right\}\)

\(\mbox{} + \frac{2\beta\gamma\phi}{(1-\phi)(1-\phi^m)}\left\{k(1-\phi^m) - \phi^m(1-\phi^{mk})\right\}\biggr]\)

对于少数ETS模型，没有已知的预测区间公式。在这些情况下， 函数 forecast() 使用模拟的未来样本路径，并根据这些模拟的未来路径的百分位数计算预测区间。